¿Cuán grande es infinito?
Carlos Augusto Di Prisco (*)

Al aprender a contar nos percatamos, tarde o temprano, que no se vislumbra un final en la sucesión de los números naturales, uno, dos, tres… dado uno de estos números, podemos encontrar otro mayor. Este suele ser el primer enfrentamiento que se tiene con el concepto de infinito, y para muchas personas la experiencia con el infinito no pasa de allí. Sin embargo, para los matemáticos el concepto de infinito está frecuentemente en la base de su trabajo.
Conjuntos infinitos como los de los números naturales, los números racionales, los números reales o los complejos; procesos infinitos como el paso al límite, el cálculo de una derivada o de una integral, aparecen a cada paso en el quehacer matemático. Pero aunque parezca sorprendente, hay muchos problemas relativos al concepto de infinito que están muy lejos de haber sido resueltos.
Nuestro objetivo aquí es enunciar uno de esos problemas, llamado “el problema del continuo de Cantor”, quizás uno de los problemas más importantes de las matemáticas desde hace más de un siglo.

1. Infinitos infinitos.
Comencemos con algo que para muchas personas resulta tan extraño que parece una broma: en realidad, hay diversos tamaños infinitos, o para decirlo de otra manera, no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño.
La demostración de esto se debe a Georg Cantor, matemático alemán del siglo XIX. Para explicarla, debemos primero aclarar lo que entendemos por tamaño de un conjunto infinito. ¿Cuándo podemos decir que dos conjuntos A y B son del mismo tamaño? Una respuesta muy natural es la siguiente: A y B son del mismo tamaño si podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de A y los elementos de B, es decir, cuando a cada elemento de A le podemos hacer corresponder un único elemento de B de modo que a dos elementos distintos de A le correspondan elementos distintos de B, y cada elementos de B resulte ser el correspondiente de algún elemento de A. Para decirlo en términos más técnicos, decimos que A y B tienen el mismo número de elementos si se puede establecer una biyección entre ellos. Esto es lo que hacemos usualmente para comparar tamaños de conjuntos. Por ejemplo, si estamos en un teatro, ¿cómo podemos saber si el número de butacas y el número de personas en la sala son iguales? Aún si no sabemos cuáles son esos números, podemos decir que son iguales si observamos que cada persona está sentada en una butaca, y no hay butacas libres ni gente de pie, ni más de una persona en cada silla.
Nótese que nuestra definición tiene tanto sentido si los conjuntos A y B son finitos como si son infinitos. Es por eso que podemos decir que el conjunto N de los números naturales 1, 2, 3, 4, . . . tiene el mismo tamaño que el conjunto P de los números pares 2, 4, 6, 8, . . . : basta verificar que la correspondencia que a cada número n le asigna el número 2n satisface las condiciones de la definición. Aquí encontramos una de las peculiaridades de los conjuntos infinitos: puede ocurrir que un conjunto infinito tenga el mismo tamaño que una parte de sí mismo. Sugerimos al lector que demuestre que esto es imposible cuando se trata de conjuntos con un número finito de elementos. Otra cosa que el lector puede intentar es demostrar que el conjunto de los números racionales (1) tiene también el mismo tamaño que el conjunto de los números naturales. Para ello, el primer paso sería encontrar la correspondencia adecuada para asociar a cada número racional un número natural.
¿Cómo podemos mostrar entonces que hay conjuntos infinitos que no tienen el mismo tamaño del conjunto N de los números naturales? Aunque tomó mucho tiempo dar con las ideas necesarias, la tarea parece ahora sencilla: basta tomar el conjunto P(N) de partes, o subconjuntos, del conjunto N. Cantor probó, con un argumento cristalino, que no puede existir una biyección entre N y P(N). A saber, supongamos que una tal biyección existe, y veamos que ocurre. Una biyección entre N y P(N) nos daría una correspondencia que a cada número natural n le asigna un subconjunto An de N de modo que se cumplen las condiciones mencionadas anteriormente: a dos números distintos n y m, le corresponden conjuntos distintos An y Bm, y cada subconjunto B de N, es el correspondiente a algún número natural, y así, B = An para algún n. Puede que haya algún número n para el que ocurra que n es un elemento de An, ya que An es un conjunto de números naturales y n puede estar entre ellos. También puede ocurrir que para algún número m, m no se encuentre entre los elementos de Am. Consideremos entonces el conjunto de todos los números naturales que no pertenecen al subconjunto que les corresponde, y llamémoslo C. Este conjunto C, es un subconjunto de N, y como tal, puede tener pocos elementos, o ninguno (en este caso sería el conjunto vacío) o puede tener infinitos elementos, y hasta podría ser la totalidad de los números naturales. No nos importa cual sea el caso, pero siendo C una parte de N, es decir, un elemento de P(N), y por las propiedades de la correspondencia cuya existencia hemos supuesto, debe existir un  número k tal que C = Ak. Para ese número k, como para cualquier otro número natural, tiene que ocurrir una de dos cosas: o bien k pertenece a C, o bien k está fuera de C. Pero veamos que ninguna de las dos es posible. Según la definición de C, si k pertenece a C, es porque k no pertenece a Ak. Pero Ak es precisamente C, luego, si k pertenece a C es porque no pertenece a C.

Análogamente, si k no pertenece a C, entonces como C = Ak, k no pertenece a Ak, y ésta es la propiedad que define a los elementos de C, por ello k pertenece a C. En conclusión, k no puede pertenecer a C ni estar fuera de C, lo que es absurdo. Esta contradicción resulta de suponer que existe una biyección entre N y P(N), y por lo tanto la suposición no puede ser cierta. Vemos así que N y P(N) no tienen el mismo tamaño. Hemos encontrado dos conjuntos infinitos de diferente tamaño.
El conjunto P(N) debe ser más grande que N, ya que si a cada número natural n le asignamos el conjunto {n}, cuyo único elemento es el número n, vemos que P(N) tiene al menos tantos elementos como N. Y como estos dos conjuntos no tienen el mismo tamaño, el tamaño de P(N) es mayor que el de N.
Este argumento se puede repetir para mostrar que existen conjuntos infinitos más grandes que P(N), y se puede repetir tantas veces como uno quiera para encontrar conjuntos infinitos más y más grandes. Por eso, concluimos que hay una infinidad de tamaños posibles para los conjuntos infinitos. ¡Hay infinitos infinitos diferentes!
Se dice que un conjunto infinito es numerable si se puede poner en biyección con el conjunto N de los números naturales. Hemos visto que el conjunto de los números pares es numerable, como lo son el conjunto de los números enteros y el de los números racionales, pero el conjunto P(N) no lo es. Existe una biyección entre el conjunto R de los números reales y el conjunto P(N), por lo tanto hay más puntos en la recta real que números naturales. Dicho de otra manera, tanto el conjunto de los números naturales como el conjunto de los números reales -llamado también el continuo- son infinitos, pero el tamaño de aquel conjunto es menor que el tamaño de este último. Cabe preguntarse entonces si hay algún conjunto infinito de tamaño intermedio. Éste es el tema de la próxima sección.

2. La Hipótesis del continuo
Uno de los grandes problemas de la teoría de conjuntos, que ha motivado una buena parte del desarrollo de la disciplina, es el de determinar si existe algún conjunto de tamaño intermedio entre el tamaño de N y el de P(N). La Hipótesis del Continuo, formulada por Cantor en 1878, dice que no existe tal conjunto de tamaño intermedio. De modo que según esta hipótesis todo conjunto infinito de números reales es numerable o se puede poner en biyección con el continuo R.
La historia de este problema, en el desarrollo de los fundamentos de la matemática, es muy rica y a la vez fascinante. La importancia del problema ha sido tan notable que David Hilbert, el gran matemático de Königsberg, encabezó con éste la lista de los problemas que presentó ante el Congreso Mundial de Matemáticos que se llevó a cabo en 1900 en París, problemas que consideraba los más importantes de las matemáticas para ese momento. Todos los problemas de la lista de Hilbert han dado origen a importantes desarrollos matemáticos.
En particular, muchos esfuerzos siguieron para aclarar lo referente al primero de ellos, y todavía, hoy en día, éste es uno de los temas en torno al cual se desarrollan ideas muy profundas.
Una de las vías escogidas por algunos matemáticos fue la de investigar las consecuencias de la Hipótesis del Continuo, tal como lo hizo Waclaw Sierpinski en Polonia, quien publicó una larga serie de trabajos sobre enunciados matemáticos que se derivan de esta hipótesis. En 1918, Kurt Gödel, un joven matemático formado en Viena, dio a conocer su resultado sobre la consistencia de la Hipótesis del Continuo [1]. Gödel demostró que a partir de los axiomas usuales de la matemática, es decir, de la teoría de conjuntos, no se puede demostrar la negación de la hipótesis del continuo. Dicho de otra manera, Gödel probó que no se puede demostrar la existencia de un conjunto de tamaño intermedio entre el de los números naturales y el de los números reales. Éste es un resultado sorprendente, ya que se trata de una prueba matemática de la imposibilidad de demostrar un enunciado matemático. No era, sin embargo, la primera vez que se lograba un resultado de este tipo: el quinto postulado de Euclides sobre rectas paralelas, por ejemplo, había conducido a resultados de indemostrabilidad. Tanto Riemann como Lobachevski demostraron la imposibilidad de demostrar el quinto postulado de Euclides a partir de los demás postulados de la geometría.
La demostración dada por Gödel no sólo dio información sobre la Hipótesis del Continuo, también probó la consistencia del Axioma de Elección, otro postulado matemático que ha generado variadas controversias. La contribución de Gödel al tema no quedó allí, su método de demostración ha sido usado posteriormente en muchos trabajos, incluso muy recientes, sobre diversos aspectos de los fundamentos de las matemáticas. Una manera de describir esta demostración de Gödel es diciendo que encontró la forma de construir un universo matemático con el mínimo posible de conjuntos. En este universo no tiene cabida ningún conjunto de tamaño intermedio entre el de N y el de P(N); además los conjuntos en ese universo están organizados de una manera tan canónica que allí todo conjunto se puede dotar de un buen orden. Las propiedades matemáticas de los conjuntos de ese universo de Gödel, llamado el universo constructible, están dictadas por la estructura interna del mismo universo. Ésta es tan clara que ha permitido observar en los conjuntos constructibles propiedades sobre conceptos tan variados como los de la teoría de la medida, el álgebra homológica y la topología.
El siguiente gran aporte hecho en torno a la hipótesis del continuo se debe al norteamericano Paul Cohen, quien en 1963 publica un trabajo en el que demuestra la contraparte al resultado de Gödel [2]. Cohen logra demostrar que la hipótesis del continuo no es demostrable a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos al construir un modelo de la teoría de conjuntos donde la Hipótesis del Continuo es falsa. Las dos contribuciones juntas, la de Gödel y la de Cohen, indican que los postulados usuales de las matemáticas no son suficientes para responder la pregunta planteada por Cantor. La hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.
El resultado de Cohen es otra de las grandes contribuciones del siglo XX a la teoría de conjuntos. Para obtenerlo, Cohen inventó un nuevo método, llamado “forcing”, que sirve para generar toda una diversidad de universos matemáticos con propiedades muy variadas. Del método de forcing se puede decir que es la herramienta matemática que ha dado más frutos en el campo de los fundamentos de las matemáticas. Es un método especialmente diseñado para probar resultados de independencia, y consiste en formar un universo matemático agregando ciertos conjuntos a un universo que se toma como punto de partida. Por ejemplo, si queremos un universo donde la hipótesis del continuo sea falsa, comenzamos la construcción a partir de un universo cualquiera y añadimos “nuevos” subconjuntos de N. Si se añade una gran cantidad de estos nuevos subconjuntos, y se logran mantener ciertas propiedades de la estructura del universo original, en el universo que resulta de la construcción habrá tantos subconjuntos de N que el tamaño de P(N) será más grande que el de otros conjuntos cuyo tamaño es mayor que el de N. Por lo tanto, en este universo habrá conjuntos de tamaño intermedio, y esto significa que allí la hipótesis del continuo es falsa.
     La descripción anterior es, por supuesto, vaga e imprecisa, pero no podemos pretender explicar en pocas líneas toda una teoría matemática que contiene ideas profundas y de gran complejidad técnica.

3. El problema no está resuelto
¿Constituyen los trabajos de Gödel y de Cohen una respuesta definitiva al problema planteado por Cantor? Estos trabajos indican que los métodos usuales de las matemáticas no son lo suficientemente poderosos como para responder la pregunta planteada por Cantor, pero muchos matemáticos no están dispuestos a conformarse con esto. La actitud que se tome ante esta situación depende en buena medida de la filosofía de las matemáticas que, consciente o inconscientemente, sea adoptada. Una filosofía estrictamente formalista, que considera las matemáticas como una serie de derivaciones abstractas, un mero juego de símbolos sin significado, diría que el capítulo está cerrado, ya que no hay manera de derivar de hipótesis del continuo ni su negación a partir de los axiomas.
Pero desde un punto de vista realista, desde el cual se considere que hay un universo matemático “real”, donde cada enunciado es verdadero o falso, sin ambigüedades y sin más posibilidades, el problema consiste en determinar si en este universo, el universo de las matemáticas, la hipótesis del continuo es o no es verdadera. Si los axiomas usuales no responden la pregunta, eso sólo significa que los axiomas no proporcionan una buena descripción del universo matemático, y es preciso mejorar esta descripción con un sistema de axiomas más adecuado. Una buena parte del desarrollo de la teoría de conjuntos desde los años sesenta se ha centrado precisamente en encontrar axiomas adicionales que permitan esa mejor y más completa descripción de la realidad matemática.
El propio Gödel, en un ensayo titulado “¿Qué es el problema del continuo de Cantor?” [3], escribió, en 1947, que posiblemente, nuevos axiomas de infinitud, que estipulen la existencia de conjuntos infinitos sumamente grandes, podrían iluminar la vía para hallar la verdad sobre la hipótesis del continuo. Ya se sabe que con estos axiomas tampoco basta para dar una solución definitiva al problema. Sin embargo, las hipótesis de infinitud fuerte han permitido obtener resultados sumamente interesantes que aclaran bastante el panorama.
Desde principios de la década de los noventa, principalmente debido a los trabajos de W. H. Woodin, de la Universidad de California en Berkeley, ha habido una serie de avances importantes en el estudio de los conjuntos de números reales y su relación con los axiomas de grandes cardinales. Se ha demostrado, por ejemplo, que la existencia de cierto tipo de cardinales grandes implica que de haber contra ejemplos a la hipótesis del continuo, éstos serían de una complejidad que sobrepasa lo que se puede describir con el tipo de fórmulas que comúnmente usan los matemáticos. De modo que la profunda intuición de Cantor ha sido de cierto modo reivindicada. Bajo estas hipótesis de infinitud fuerte, se demuestra también que los conjuntos definibles son medibles en el sentido de Lebesgue.
La búsqueda de axiomas aceptables que decidan la Hipótesis del Continuo continúa, y ha sido una empresa fructífera. Woodin ha considerado un axioma, llamado Axioma (*), como candidato plausible, y ha demostrado que, bajo hipótesis fuertes de infinitud, este axioma es consistente en un sentido fuerte. El axioma (*) implica la negación de la Hipótesis del Continuo. Para completar el esquema propuesto por Woodin, queda verificar una conjetura, llamada la conjetura Ω, cuyo enunciado es demasiado técnico para incluirlo aquí. De ser cierta indicaría de una forma bastante natural que la hipótesis del continuo es falsa. En [4], Woodin explica su trabajo sobre la Hipótesis del Continuo, y allí afirma que aún cuando el camino que propone no sea el camino para llegar a la solución del problema del continuo, al menos es un camino que, en su opinión, proporciona evidencias de la existencia de una solución.
El problema del continuo, sigue manteniendo, luego de más de un siglo, su posición entre los problemas más importantes de la matemática. ¿Veremos su solución en el futuro cercano?

Enero 18, 2006

(1)Los números racionales son aquellos de la forma n/m con n, m enteros, m distinto de cero.

Bibliografía
[1] Gödel, Kurt, La consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo. Obras completas. Alianza Editorial, 1981.
[2] Cohen, Paul J., The independence of the continuum hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences, U.S.A. Vol. 50, (1963), Vol. 51 (1964).
[3] Gödel, Kurt, ¿Qué es el problema del continuo de Cantor? Obras completas. Op. cit.
[4] Woodin, W. H., The Continuum Hypothesis, Notices of the Amer.Math, Soc. 48 (2001). Part I 567-576, Part II 681-690.

(*) Profesor del Departamento de Matemáticas USB
Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas