Albrecht Dürer y Cuadrados Mágicos
José Luis Palacios*

La portada del número 11 (Septiembre-Diciembre de 1993) de la revista Universalia muestra un fragmento del famoso grabado Melancolía I, de Albrecht Dürer. Nada podía ser más apropiado que esta imagen para una revista de Estudios Generales, con ese nombre y esa idea de universalidad, pues Dürer es uno de los pináculos del arte occidental y un verdadero hombre del Renacimiento, un hombre universal.

Albrecht Dürer (Alberto Durero), nacido en Nürnberg, Alemania, el 21 de Mayo de 1471, fue el mayor pintor, grabador y diseñador de grabados en madera del Renacimiento alemán, y al mismo tiempo el autor de un buen número de trabajos teóricos. Su arte ha sido aceptado como un modelo por pintores y grabadores de todas las épocas, pero su importancia no radica sólo en este hecho. La versatilidad de su creatividad y su habilidad para reflexionar sobre su propia individualidad y sobre su actividad y para verter en papel el resultado de sus reflexiones contribuye también a acrecentar su importancia.

Fue, como Leonardo, un artista intelectual capaz de tomar parte en las grandes conmociones intelectuales contemporáneas ocasionadas por la Reforma y el movimiento humanista. La influencia que Dürer ejerció y ejerce todavía se deriva del hecho de que, como un verdadero hombre del Renacimiento que se sentía una "personalidad" importante y distinta, dejó un legado de material revelador sobre sí mismo, incluyendo autorretratos, cartas, una crónica familiar (1524), un Gedenkbuch (diario) preservado fragmentariamente de los años 1502-03 y 1514, un diario de su viaje a los Países Bajos (1520-21), el relato de una visión apocalíptica (1525), y su poesía.

Durante 1513 y 1514 Dürer creó sus mejores grabados en plancha de cobre: El caballero, la muerte y el diablo; San Jerónimo en su estudio y Melancolía I, todos de aproximadamente el mismo tamaño, variando entre 24.2 por 19.1 centímetros y 24.8 por 19.1 centímetros. La extensa, compleja, y a menudo contradictoria literatura sobre estos tres grabados se alimenta sobre todo de sus detalles iconográficos enigmáticos y llenos de alusiones. Aunque debatida, la opinión general es que estos tres grabados, llamados grabados maestros, deben ser interpretados conjuntamente y representan el más alto nivel de intensidad artística de Dürer.

De Melancolía I, en el cual una figura alada cavila en medio de una cornucopia de instrumentos científicos, vale la pena destacar la presencia de un cuadrado mágico en la pared detrás de la figura alada. Este cuadrado está subdividido en dieciséis cuadrados, cada uno de los cuales encierra un número entero entre el 1 y el 16, con la particularidad de que la suma de los números en cualquier fila, columna o diagonal principal es la misma: 34. Cabe destacar también que la fecha de ejecución de la obra se puede leer combinando los dos cuadraditos centrales de la última fila: 15-14. Indudablemente, Dürer era un aficionado de los juegos numéricos.

Los cuadrados mágicos existen desde al menos 2.200 años antes de Cristo, cuando aparecen en el libro chino I Ching; muy posteriormente aparecen en el mundo occidental. A lo largo del tiempo se les han atribuido propiedades mágicas.

Damos a continuación un algoritmo rápido para crear cuadrados mágicos de tamaño 4x4: comience con ocho números enteros A, B, C D, a, b, c, d tales que D = B + C - A y d = b + c - a (de manera que haya sólo seis variables independientes A,B,C,a,b,c), y colóquelos en los márgenes de una tabla aditiva

donde cada valor x sea la suma de los márgenes en la fila y la columna de x. Así, para la esquina superior izquierda se tiene x = A + a, etc. Mantenga los resultados en las diagonales principales, y permute las otras ocho celdas restantes en pares diagonalmente opuestos. El resultado es un cuadrado mágico, donde la suma de todas las filas, columnas y diagonales principales es la misma.

Un ejemplo ilustrará este procedimiento: comenzando con A=3,B=4,C=1 y a=1,b=5,c=2 se tiene D=2 y d = 6, y la primera tabla es:

Ahora mantenemos fijas las diagonales:

luego el 4 con el 8:

etc. El cuadrado mágico resultante es:

donde la suma constante es 24. Si queremos construir un cuadrado mágico estándar, donde los números en las celdas son los enteros consecutivos de 1 a 16, como el de Melancolía 1, los márgenes deben escogerse cuidadosamente. Queda como un ejercicio para el lector verificar que con la escogencia A=1, B = 2, C = 3 y a = 12, b = 8, c = 4 se llega al cuadrado mágico estándar:

Otro ejercicio para el lector: pruebe que en un cuadrado mágico estándar de tamaño n la suma constante debe ser n(1+n2)/2. Debe señalarse que el método aquí expuesto no produce todos los posibles cuadrados mágicos 4 x 4. Para más detalles ver [1] y [2].

Referencias

[1] M. Kraitchik, Mathematical Recreation,. Dover Publications. (1943)
[2] Encyclopaedia Britannica(1984)

(*) José Luis Palacios es Licenciado en Matemáticas por la Universidad Simón Bólivar. Magister y Ph.D. en Matemáticas Universidad de California en Berkeley. Ha sido profesor del Instituto Tecnológico de New Jersey. Es Profesor del Departamento de Matemáticas. Miembro del Centro de Estadística y Software Matemático y Director de Cultura de la Dirección de Extensión Universitaria.